為什麼數學學不好? 了解國高中數學的變化與學習困難點

為什麼數學不好

為什麼數學這麼難學呢?

學是許多學生的惡夢,很多人都在數學當中感受到挫折,到底是什麼原因讓數學那麼難呢? 這篇文章將帶你揭開數學困難點的面紗,了解數學有甚麼特別之處。在討論前,先說明兩個前提:

  • 每個人的學習方法、習慣、困境都不同,這篇文章只能說明廣泛性的問題,無法針對個人的狀況細講。
  • 在不同的階段,數學的學習目標是不相同的:小學要求的是運算能力、中學要求簡易抽象化與應用能力、高中要求抽象理解與統合能力、大學以後則是更純粹的抽象化與邏輯推論能力,雖然都是數學,但是不同階段面臨的困難與目標並不一樣,也就需要不同的學習技巧,也因此國中數學好壞,並不能代表未來學習數學的表現。

    另外,還有一點很重要,那就是如果只是沿用以前的學習方式,在新的階段時有可能會不能適應。例如:國小依靠大量練習來維持數學成績,到國中時這個方法可能會有適應困難,高中以後還用這個方法面臨的就是巨大的挫敗感了。

這篇文章聚焦在如何有效的學習數學,而不會以提高練習量為討論的主題。也就是假設學生的練習量已經沒有問題了,再來深入討論學習數學的關鍵與方法,尤其以國高中會面臨的困難為主。

學習數學的困難點

1.不習慣符號化的思維習慣:國小升上國中時,數學開始使用『代數』這種抽象概念,對學生來說,這是一個很大的改變,以前可以確切表示的數字,忽然離開了現實的生活,變成了純粹的符號。這個變化是國中生學習數學最先面臨到的障礙,不少國一學生就是不懂 “X” 到底是什麼,也因此學的一頭霧水。甚至因此影響到未來學習數學的信心。

其實,學生是被大量瞬間出現的代數搞混了,由於很多學生習慣以題目開始學習,沒有先把代數的性質理解清楚,導致在不同的題目當中看到 “X” 時就搞混了,他們不明白為甚麼一下子 X=1 一下子 X=5。終歸到底,學生的困難在於,不理解代數表達的是『未知』,用來處裡我們還不知道的項目。在學習國中數學前,一定要先理解數學符號化的本意,才有辦法把後續包含大量符號化觀念的課程學好。


2.缺乏抽象歸納與類推習慣:代數、符號化的理解是最基本的,當學生能夠認清代數的意義以後,就算是具備基本抽象化思考的能力了。接下來會面臨的數學門檻是從題目歸納核心邏輯的技巧,以及類推一個觀念到其他題目上使用的習慣,如果缺乏這兩種能力,會導致學生花大量時間練習同一類型的題目,雖然好像很用功,但數學成績卻頂多不差而已,很難爬到數學的前段。這是因為,只靠練習題目是不夠的,題型百百種,根本不可能練習完所有的題型,靠練習頂多可以掌握基礎的題型分數而已。

這個問題正是學習數學最難跨越的門檻,如果掌握了其中的技巧,就可以脫離只靠練習題學數學的窘境,而變成針對基本的題型練習幾次,掌握了核心的邏輯就可以面對其他題型,運用已經歸納出的邏輯,找到不同題型適合的解決方向。

這種歸納類推能力是需要練習的,學生在接觸到相同的邏輯時,要想著把邏輯剝離原本的事物,變成一個通用性的法則,之後依據這個法則應用於其他事物。其實這樣的思考方式不只適用於學數學,生活上有許多事情都可以用這個方法掌握。這也是為甚麼有些人學習東西特別快的原因,因為他沿用了其他領域的經驗,把原本領域的經驗抽象歸納成基本邏輯,一旦遇到類似的事情時就可以套用,自然很快就會上手。這裡舉個簡單的數學題目,來說明對題目做到提出核心邏輯:

假設有一個農場,雞的數目是鴨的四倍,鴨比豬少九隻。鴨和豬的數目是六十七隻。請問農場所有動物的腳加起來共多少隻?

這是一個很經典的農場問題,解法非常簡單,只需要讓 “鴨=X” 就可以快速解出答案:
鴨=X 雞=4X 豬=X-9 且(X)+(X-9) = 67 則X=38 …

但是我們可以進一步去思考題目的變化,以抽出代數考題的核心邏輯。試想如果把 “鴨=X”,換成 “雞=X”會發生什麼事情呢?這時候:
鴨=X/4 雞=X 豬=(X/4)-9 且(X/4)+(X/4-9) = 67 …
算式一樣可以計算,但是難度卻提高不少,與前面的方法相比,更容易造成運算錯誤。這說明了代數題目的一個特點,選對未知數對於計算會有很大的幫助。在不知道該怎麼選的時候應該多嘗試用不同的代數。

再來,我們還可以用多個代數表示這個問題:
鴨=X 雞=Y 豬=Z Y=4X Z-9=Y Y+Z=67
依然可以求解,只是又更複雜了,而這個經驗說明代數問題的另一個現象:如果條件允許,盡可能地減少代數數量,對於計算很有幫助。

實際上每個題目都可以做這樣的延伸技巧,針對不同的題目做這種思想演練,很快就會發現題目其實只是在一些基本原則上做變化而已,本質上要考的內容都是類似的。例如:圖形題總是在邊長、面積、角度、相似性上做變化;代數題關鍵是簡化運算、找出適合當代數的目標…等等。掌握這些題型的原理才是練習題目最重要的,如果不動腦筋的只是大量練習,很快就會在數學上面臨挫敗感。

掌握考題重點,是事半功倍的學習技巧


3.缺乏統整經驗:如果解決了上述的兩個問題,並且輔以足夠的練習量,數學成績應該不會差了,剩下的狀況是在遇到非常困難的題目,一時間想不到解法這種狀況,而要強化對難題的處理能力,就必須強化數學上的整合能力。

數學是一個有完整系統的學科,擁有非常強的連貫性,以前學過的東西在未來章節會不斷出現,例如:線性代數的觀念會應用於座標圖型、幾何學用於空間…等等。不過在教學時必須把數學切割成多個學習環節,可也正是這樣的方法讓學生容易產生盲點,以為解圖型時不會用到代數、解代數時不會需要畫圖…等等,缺少整合性的觀念,就會在遇到跨章節的難題時找不到解法。

因此,建議數學有一定實力的學生,可以把過往學過的公式、定理重新整理,試著將整個數學觀念融會貫通,一旦遇到不知道怎麼解決的題目時,只需要把曾經學習過的東西都條列出來,幾乎都可以在其中找到需要的公式與想法,例如:題目有三角形時就可以列出畢氏定理、相似性、中點、重心、外接圓…等等,透過把學習過的觀念打散重新組裝,讓數學觀念一氣呵成,是晉升頂尖很好的方式。

4.定勢效應的影響:最後來討論一個在考試時,特別常見的問題,很多考生在考試當下解不出來的題目,一離開考場反而就想到解法了。其實這種狀況在心理學有相當多的研究,最著名的理論為『定勢效應』。

定勢效應指的是大腦傾向採用熟悉的方法來解決問題,並頑固的忽視其他方法,甚至是更好的方法。在1942年的一項經典實驗中,美國心理學家路琴(Abraham Luchins)要求受試者做了一個假想實驗,實驗的邏輯大致如下:

請大家假想自己需要用倒水的方式來解決簡單的數學問題。首先,你手上有三個水杯,容量分別為21、127、3,請試著倒出100單位的容量,條件是每次盛裝或倒出的水量都必須是這三個容器的容量之一,不能任意倒,而操作次數並沒有限制。

這個問題並不困難,只需要如下操作:
先裝滿127的水杯,倒給21一次、接著倒給3兩次,這樣就得到100單位的水了

那麼現在請大家接著思考以下這幾個數字:
題目:23、70、7目標是20 下一題:93、44、3目標是40 最後一題23、49、3目標是20。

有趣的問題來了,請問各位的最後一題是怎麼解決的? 實驗證明多數的人採用的方法如下:49-23=26,26在倒兩次3得到20,看起來很合理,可是最後一題其實只需要用23倒掉3就夠了,根本不用經過中間的49單位。

這項水杯實驗是『定勢效應』(Einstellung effect)的相關研究中,最為人所知的實驗之一。這個效應指出人們在解決問題時傾向採用熟悉的方法,通常是最先想到的方法,而且這個方法會一直盤踞心中,並使人忽視其他可能的方法。

延伸資料:定勢效應 – 維基百科

考試時學生也很容易受到定勢效應的影響,由於第一印象想要用的方法失敗了,導致想法卡住而沒辦法抽離,在考試當中由於有時間壓力,讓人更難以跳脫思維。對於考試來說,最好的方法是一旦被某個題目困住了,就往下繼續做,不要花時間在題目上糾結,因為定勢效應已經讓思維固定了,花更多時間也不一定能夠找出好的解法,反而會浪費考試時間,增加考試壓力,不如先做別的題目轉換思路,顯得更有機會解決問題。

上面總結了國中生數學容易遇到的困難,由根本問題到進階的困境,正確理解絕對可以對學習數學產生助益。希望學生可以一步一步克服數學的障礙,保持積極與自信的學習態度。

<<< 文章由翰霖補習班撰寫,轉載、引用請參閱版權政策 >>>

歡迎留下評論

請留下您的評論
請在這裡輸入姓名